Anwendung der Differential-geometrie in Künstlichen Intelligenz

Das Buch "Application of Differential Geometry in Artificial Intelligence" vertritt die These, dass moderne KI nicht anhand flacher euklidischer Annahmen, sondern unter Berücksichtigung gekrümmter Mannigfaltigkeiten am besten verstanden wird, da Daten, Modellparameter und Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Natur aus eine nicht-euklidische Struktur aufweisen. Zunächst werden die mathematischen Grundlagen gelegt - Mannigfaltigkeiten, Riemannsche Metriken, Geodäten, Krümmung und Verbindungen -, bevor aufgezeigt wird, wie diese Werkzeuge Kernbereiche des maschinellen Lernens neu gestalten: Informationsgeometrie und natürliche Gradientenoptimierung, Riemannsche Optimierung auf beschränkten Räumen wie orthogonalen und SPD-Matrizen, geometrisches Deep Learning auf Graphen und Netzen mittels äquivarianten Architekturen sowie die geometrische Analyse von Verlustlandschaften neuronaler Netze. Anschließend widmet sich das Buch Techniken des Mannigfaltigkeitslernens und der Dimensionsreduktion, geometrieorientierten Architekturen wie hyperbolischen und Lie-Gruppen-äquivarianten Netzwerken sowie differentialgeometrischen generativen Modellen, darunter Riemannsche Diffusion und optimaler Transport. Ein eigenes Kapitel gibt einen Überblick über Anwendungen in den Bereichen Robotik, Computer Vision, NLP und wissenschaftliche KI (Quanten-Maschinelles Lernen, physikinformierte Netzwerke).