Partial Differential Equations

Deze uitgebreide studie biedt studenten een gedegen inleiding in de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's), met een speciale focus op elliptische typen. Het boek is ontworpen om de lezer te begeleiden naar de belangrijkste methoden en centrale resultaten binnen de elliptische PDE's, zonder een alomvattend overzicht van het hele veld te bieden.

Inhoud en Structuur

Het hoofddoel van dit boek is de vraag te onderzoeken hoe een oplossing voor een PDE kan worden gevonden. De oplossing hangt af van gegeven randvoorwaarden, en indien deze voorwaarden van de juiste aard zijn, wordt de oplossing uniek bepaald. De auteur introduceert verschillende strategieën om oplossingen voor PDE's te vinden, die in algemene termen kunnen worden gekarakteriseerd als:

- Het opstellen van een expliciete formule voor de oplossing in termen van de gegeven data (randvoorwaarden). Deze benadering is echter slechts mogelijk in specifieke gevallen, en dergelijke formules kunnen complex zijn, wat hun nut voor het begrijpen van de kwalitatieve eigenschappen van de oplossingen beperkt.

- Het oplossen van een reeks hulpproblemen die de oorspronkelijke probleemstelling naderen, en het tonen dat de oplossingen van deze problemen convergeren naar een oplossing van het oorspronkelijke probleem. Dit benadrukt de onbegrensde dimensie van de functieruimtes waarin differentiaalvergelijkingen worden gesteld.

Methodologische Benadering

De auteur, Jürgen Jost, ontwikkelt methoden voor het verkrijgen van schattingen van oplossingen van elliptische vergelijkingen. Hij behandelt thema's zoals Sobolev-ruimtetheorie, zwakke en sterke oplossingen, Schauder-schattingen en de Moser-herhalingsmethode. Daarnaast verkent hij de verbanden tussen elliptische, parabolische en hyperbolische vergelijkingen, evenals hun connecties met Brownian motion en semigroepen.

Nieuwe Editie en Aanvullingen

In de derde editie van dit boek, die in 2023 is uitgebracht, zijn er nieuwe hoofdstukken toegevoegd over reactie-diffusie vergelijkingen en systemen. Verder zijn er updates over Neumann-randvoorwaarden, Poincaré-ongelijkheden en nieuwe bewijzen van de Hölder-regulariteit van oplossingen van de Poissonvergelijking. Deze uitbreidingen bieden een actuele reflectie van de nieuwste ontwikkelingen en technieken in het veld.

Doelgroep

Dit boek is ideaal voor studenten en jonge onderzoekers die een solide basis willen leggen in de klassieke eigenschappen van tweede-orde partiële differentiaalvergelijkingen. Het is ook bijzonder geschikt voor docenten die een inleidende cursus willen samenstellen over dit cruciale gebied van de wiskunde. Het biedt een balans tussen stijl, diepgang en toegankelijkheid, wat het een uitstekende keuze maakt voor diegenen die willen leren over PDE's.