The Arithmetic of Elliptic Curves: 106

De theorie van elliptische curven is een fascinerend vakgebied dat zich onderscheidt door zijn lange geschiedenis en de diversidade aan methoden die in de studie ervan zijn toegepast. Dit boek biedt een uitgebreide behandeling van de aritmetische theorie van elliptische curven in zijn moderne formulering, gebruikmakend van de basisprincipes van de algebraïsche getaltheorie en algebraïsche geometrie.

Inhoud van het boek

Het boek begint met een beknopte bespreking van de noodzakelijke algebro-geometrische resultaten, waardoor de lezer een stevige basis krijgt. Vervolgens biedt het een gedetailleerde uiteenzetting van de geometrie van elliptische curven, de formele groep van een elliptische curve, en elliptische curven over verschillende velden, waaronder eindige velden, complexe getallen, lokale velden en globale velden. De laatste hoofdstukken zijn gericht op integrale en rationale punten, met inbegrip van Siegel's stelling en expliciete berekeningen voor de curve \(Y^2 = X^3 + DX\).

Nieuwe toevoegingen in de tweede editie

In deze tweede editie, gepubliceerd in 2009, is er een nieuw hoofdstuk toegevoegd met de titel "Algorithmic Aspects of Elliptic Curves," dat zich richt op algoritmen over eindige velden met cryptografische toepassingen. Hierin worden verschillende belangrijke algoritmen besproken, waaronder:

- Lenstra's factorizatie-algoritme

- Schoof's puntentelling-algoritme

- Miller's algoritme voor het berekenen van de Tate- en Weil-paire

- Elementen van de elliptische curvecryptografie

Daarnaast is er een nieuwe sectie over Szpiro's hypothese en de ABC-conjectuur, evenals uitgebreide en bijgewerkte verslagen van recente ontwikkelingen en meerdere nieuwe oefeningen om de lezer te stimuleren en uit te dagen.

Appendices

Het boek bevat drie appendices die aanvullende informatie bieden:

- Elliptische curven in karakteristieken 2 en 3

- Groep cohomologie

- Een derde appendix die een overzicht geeft van meer geavanceerde onderwerpen relevant voor het onderwerp.

Met een totaal van 533 pagina's biedt deze tweede editie niet alleen een grondige introductie tot de theorie van elliptische curven, maar ook waardevolle inzichten in de recente ontwikkelingen binnen het vakgebied. Deze gestructureerde en gedetailleerde aanpak maakt het boek een onmisbare bron voor zowel studenten als onderzoekers die geïnteresseerd zijn in de diepere aspecten van de elliptische curven.